Gemüt

要点 n个已知数，n个未知数的方程组求解 行图像(Row picture) 列图像(Column picture) 矩阵形式(Matrix form) 例子： 2阶方程组 {2x−y=0−x+2y=3\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{matrix}\right. {2x−y=0−x+2y=3​ 矩阵形式 [2−1−12][xy]=[03]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3\\ \end{bmatrix} [2−1​−12​][xy​]=[03​] 即 AX=bAX=b AX=b 行图像 列图像 x[2−1]+y[−12]=[03]x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ ...

参考 报告.pdf 代码 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771781791801811821831841851861871881891901911921931941951961971981 ...

今天是一个蛮特殊的日子，是勃拉姆斯诞辰190周年，也是柴可夫斯基诞辰183周年。刚好他们出生在同一天，也刚好他们都是我所喜爱的音乐作曲家。 我刚开始听古典乐感觉很难受。一部交响曲听完大抵需要三刻钟，这对于急性子的我来说是难以接受的。此外，大多数作品都是无标题音乐，也就是说除了标注的番号和体裁外，就无其他可预知的内容了。 对于一首好听的流行歌曲，我会眼前一亮，称赞不绝，但是听到一些古典音乐的时候，更多的是： “…” “…” “…” “确实不错。能有这样的音乐作品出现，某种意义上真的是整个人类文明的幸事。” 我挣扎了很久，终于觅得我所喜爱的两位音乐大师。 对于一部音乐作品来说，光是作曲家写完并没有结束，他还需要演奏者亲自将他演奏出来。对于柴六，我尤其推崇切利比达克指挥的版本。切利指挥的特点是慢，在慢中似乎每个音符都变得细腻和富有生命力。当然，柴六本身就是一部抒情性极强的作品，而在切利的演绎中，老柴的痛苦迷惘绝望以及对生命的眷恋和不舍都留给人慢慢体悟。相较之下，一向被人所称誉的穆拉文斯基的指挥似乎显得“操之过急”了。初听切利觉得慢，后听觉知细，暮然回首，方才惊觉这是切利的悟。 有段时间我特别 ...

二元高斯(Gauss)混合分布模型：γ1∼(π1,μ1,σ12)\gamma _1 \sim (\pi_1,\mu _1,\sigma _1^2)γ1​∼(π1​,μ1​,σ12​)，γ2∼(π2,μ2,σ22)\gamma _2 \sim (\pi_2,\mu _2,\sigma _2^2)γ2​∼(π2​,μ2​,σ22​) 其中π1\pi_1π1​，π2\pi_2π2​代表两个分布的比例 故π1+π2=1\pi_1+\pi_2=1π1​+π2​=1 现有NNN个数据x1,x2,⋯ ,xNx_1,x_2 ,\cdots ,x_Nx1​,x2​,⋯,xN​,试估计参数(π1,μ1,σ1;π2,μ2,σ2\pi_1,\mu _1,\sigma _1;\pi_2,\mu _2,\sigma _2π1​,μ1​,σ1​;π2​,μ2​,σ2​) 1.公式推导 对于一维正态分布的概率公式为 P(x;μ,σ2)=12πσe−(x−μ)22σ2P(x;\mu ,\sigma ^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^ ...

716b019e358f01a5eb3597aa82b6aec07c3c8b9c14d3d820ba8c9a55aaea793c340f8e4fbb448fe9677eaf720c9fe31e841433d84b9814494a8310ee36a3bfec189b51a801e3f1433c45e76a42a1fab51f7ecb47c570f6ad79a312d2bfd7453ac05d2a26d392c640727bc588206359be50bbfb4e1a9b725f9f6b75d912c97b3d89ee8b3c20fb64c3b2e43cff69adc3ed4523039807869dd95c6b30e7abf13cadd7daed49e5dad0c29b859ab64dfb16a44c8c8b54dfe3a45ecbae091b9e0e11cee6e6050a123c81799afd48e902cd09e8004754358f583595f173e348150bed62998b1eab6358bf3859007b6987f1d194702af3eefda49135e ...

回顾上节 动力学方程 H(q)q¨+C(q,q˙)q˙+D(q,q˙)q˙+g(q)=τ\boldsymbol{H}(\boldsymbol{q})\boldsymbol{\ddot{q}}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}})\boldsymbol{\dot{q}}+\boldsymbol{D}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}})\boldsymbol{\dot{q}}+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{q})=\boldsymbol{\tau } H(q)q¨​+C(q,q˙​)q˙​+D(q,q˙​)q˙​+g(q)=τ q˙T(τ−Dq˙−g)=12ddt[q˙THq˙]\dot{\boldsymbol{q}}^T(\boldsymbol{\tau}-\boldsymbol{D}\boldsymbol{\dot{q}}-\boldsymbol{g}) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[\dot{\ ...

9. 多输入物理系统控制 9.1 机器人学概述 动力学方程 H(q)q¨+C(q,q˙)q˙+D(q,q˙)q˙+g(q)=τ(9.1)\boldsymbol{H}(\boldsymbol{q})\boldsymbol{\ddot{q}}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}})\boldsymbol{\dot{q}}+\boldsymbol{D}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}})\boldsymbol{\dot{q}}+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{q})=\boldsymbol{\tau } \tag{9.1} H(q)q¨​+C(q,q˙​)q˙​+D(q,q˙​)q˙​+g(q)=τ(9.1) q\boldsymbol{q}q是关节角向量，q˙\boldsymbol{\dot{q}}q˙​是关节速度向量 H(q)\boldsymbol{H}(\boldsymbol{q})H(q)是惯性矩阵(inertial matrix) 是对称正定的 是一 ...

回顾上节 动力学方程 J⏟a1x¨+b⏟a2x˙∣x˙∣+mgl⏟a3sinx=u\underbrace{J}_{a_1}\ddot{x}+\underbrace{b}_{a_2}\dot{x}\left | \dot{x} \right |+\underbrace{mgl}_{a_3}sinx=u a1​J​​x¨+a2​b​​x˙∣x˙∣+a3​mgl​​sinx=u x~(t)=x(t)−xd(t)\tilde{x}(t)= x(t)-x_d(t)x~(t)=x(t)−xd​(t);选择中间变量s=x~˙+λx~=x˙−x˙rs=\dot{\tilde{x}}+\lambda \tilde{x}=\dot{x}-\dot{x}_rs=x~˙+λx~=x˙−x˙r​，其中x˙r=x˙d−λx~\dot{x}_r= \dot{x}_d-\lambda \tilde{x}x˙r​=x˙d​−λx~。一般地，s=x(n)−xr(n)s=x^{(n)}-x_r^{(n)}s=x(n)−xr(n)​ y=[x¨r  x˙∣x˙∣  sinx]\boldsymbol{y}=[\ddot ...

回顾上节 对于系统 x(n)=f(x,t)+b(x,t)ux^{(n)}=f(\boldsymbol{x},t)+b(\boldsymbol{x},t)u x(n)=f(x,t)+b(x,t)u 函数fff(通常是非线性的)不是精确已知，但fff不精确性范围的上界是一个已知连续函数。(∣f^(x,t)−f(x,t)∣⩽F(x,t)\left | \hat{f}(\boldsymbol{x},t)-f(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant F(\boldsymbol{x},t)​f^​(x,t)−f(x,t)​⩽F(x,t),其中f^(x,t)\hat{f}(\boldsymbol{x},t)f^​(x,t)，F(x,t)F(\boldsymbol{x},t)F(x,t)已知) 跟踪误差x~=x−xd\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_dx~=x−xd​ 选取中间变量sss,要求 {s˙包含us→0⇒x(t)→0\begin{cases}\dot{s}\text{包含}u\ ...

回顾上节内容 对于系统 x(n)=f(x,t)+b(x,t)ux^{(n)}=f(\boldsymbol{x},t)+b(\boldsymbol{x},t)u x(n)=f(x,t)+b(x,t)u 函数fff(通常是非线性的)不是精确已知，但fff不精确性范围的上界是一个已知连续函数。(∣f^(x,t)−f(x,t)∣⩽F(x,t)\left | \hat{f}(\boldsymbol{x},t)-f(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant F(\boldsymbol{x},t)​f^​(x,t)−f(x,t)​⩽F(x,t),其中f^(x,t)\hat{f}(\boldsymbol{x},t)f^​(x,t)，F(x,t)F(\boldsymbol{x},t)F(x,t)已知) 跟踪误差x~=x−xd\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_dx~=x−xd​ 选取中间变量sss,要求 {s˙包含us→0⇒x(t)→0\begin{cases}\dot{s}\text{包含} ...

7. 滑模控制 7.1 滑动曲面 考虑单输入动态系统 x(n)=f(x,x˙,⋯ ,x(n−1),t)+b(x,x˙,⋯ ,x(n−1),t)u(7.1)x^{(n)}=f(x,\dot{x},\cdots ,x^{(n-1)},t)+b(x,\dot{x},\cdots ,x^{(n-1)},t)u \tag{7.1} x(n)=f(x,x˙,⋯,x(n−1),t)+b(x,x˙,⋯,x(n−1),t)u(7.1) 其中标量xxx是我们所感兴趣的输出，标量uuu是控制输入。 在方程(7.1)中函数fff(通常是非线性的)不是精确已知，但fff不精确性范围的上界是一个已知连续函数。(∣f^(x,t)−f(x,t)∣⩽F(x,t)\left | \hat{f}(\boldsymbol{x},t)-f(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant F(\boldsymbol{x},t)​f^​(x,t)−f(x,t)​⩽F(x,t),其中f^(x,t)\hat{f}(\boldsymbol{x},t)f^​(x,t)，F(x,t)F(\boldsymbol{x} ...

2. 线性时不变系统的李雅普诺夫函数 承接上节 问题变成能否找到一个对称正定矩阵Q\boldsymbol{Q}Q使它满足李雅普诺夫方程(3.15)。如果存在这样的Q\boldsymbol{Q}Q，则VVV满足3.4节基本定理的条件，且故原点是全局渐近稳定的。但是这种“自然”的想法可能得不到想要的结果，即，甚至对稳定系统Q\boldsymbol{Q}Q也可能不正定。(Q\boldsymbol{Q}Q一定是对称的 (ATP+PA)T=ATP+PA(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}(ATP+PA)T=ATP+PA) 一个利用二次函数研究给定线性系统的有用方法是：给定一个正定矩阵Q\boldsymbol{Q}Q，而反过来找正定矩阵P\boldsymbol{P}P，即 选择一个正定矩阵 Q\boldsymbol{Q}Q 由李雅普诺夫方程(3.15)解出P\boldsymbol{P}P ...