Lecture 7 Robust Control

回顾上节内容

对于系统

$$x^{(n)}=f(\boldsymbol{x},t)+b(\boldsymbol{x},t)u$$

• 函数$f$(通常是非线性的)不是精确已知，但$f$不精确性范围的上界是一个已知连续函数。($\left | \hat{f}(\boldsymbol{x},t)-f(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant F(\boldsymbol{x},t)$,其中$\hat{f}(\boldsymbol{x},t)$，$F(\boldsymbol{x},t)$已知)

• 跟踪误差$\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_d$

• 选取中间变量$s$,要求

  $$\begin{cases}\dot{s}\text{包含}u\\ s \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{x}(t)\rightarrow 0\\ \end{cases}$$

• 选择s

  $$s=(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}+\lambda )^{n-1} \tilde{x}$$

• 进一步地，s的界可直接转换成跟踪误差向量x的界限，因此标量s是跟踪性能的真实度量。

  $$\left | s \right |\leqslant \Phi ~~as~~t\rightarrow \infty \Rightarrow \left | \tilde{x} \right |\leqslant \frac{\Phi }{\lambda ^{n-1}}$$

• 滑动条件

  $$\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}s^2\leqslant -\eta \left | s \right |$$

• 不管动态f的不确定性，为了满足滑动条件，在穿越曲面$s=0$时，在$\hat{u}$上加上一不连续项，即

  $$u=\hat{u}-k~sgn(s)$$

7.2 切换控制规律的连续逼近

一般地，为使控制器正常工作，颤振必须尽可能地被消除。这可以通过在切换曲面附近的薄边界层

$$B(t)=\left \{ \boldsymbol{x},\left | s(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant \Phi \right \}~~~\Phi > 0$$

上平滑控制的不连续性得到，如图所示，其中边界层厚度，$\varepsilon =\frac{\Phi }{\lambda ^{n-1}}$是边界层宽度，其中n=2。换句话说，在$B(t)$的外部，选择和以前一样的控制规律（即满足滑动条件),可保证边界层是吸引的，因此是不变集：所有从$B(t=0)$之内出发的轨线当t≥0 时停留在$B(t)$之内；

现在在$B(t)$内"添加"修正$\hat{u}$——例如，在$B(t)$内，把表达式$u$中的项$sgn(s)$换成饱和函数$sat(s/\Phi)$。

$$u=\hat{u}-k~sat(s/\Phi)$$

为了保证边界层的吸引性，既然允许$\Phi$随时间变化，我们必须修改滑动条件。实际上，现在需要确保到边界层的距离一直减小

$$\begin{align*} &s\geqslant \Phi \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[s-\Phi]\leqslant -\eta \\ &s\leqslant - \Phi \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[s-(-\Phi)]\geqslant \eta \end{align*}$$

结合之前滑动条件，现在需要满足的是

$$\left | s \right |\geqslant \Phi \Rightarrow \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}s^2\leqslant (\dot{\Phi}-\eta) \left | s \right | \tag{7.4}$$

对上节例子，取$k=F+\eta$,则$u=\hat{u}-(F+\eta)~sgn(s)$,$\dot{s}=\hat{f}-f-k~sgn(s)$,根据式(7.4),则$u$,$\dot{s}$重新取为

$$\begin{align*} &u=\hat{u}-(F+\eta-\dot{\Phi})~sat(\frac{s}{\Phi}) \\ &\dot{s}=\hat{f}-f-(F+\eta-\dot{\Phi})~sat(\frac{s}{\Phi}) \end{align*}$$

取$\tilde{x}=O(\varepsilon )$，则

$$\dot{s}=\hat{f}_d-f_d-(k_d-\dot{\Phi})~\frac{s}{\Phi}+O(\varepsilon )$$

改写为

$$\dot{s}=-(\frac{k_d-\Phi}{\Phi})~s+\hat{f}_d-f_d+O(\varepsilon ) \tag{7.5}$$

从(7.5)可见变量s(s是到曲面$S(t)$的代数距离的度量)可看成一个一阶滤波器的输出，滤波器的动态仅依赖于期望状态$\boldsymbol{x}_d(t)$，其输入的一阶项是"扰动"，即$\hat{f}_d-f_d+O(\varepsilon )$）。于是，只要高频未建模动态不被激发就可以消除顺振。概念上，闭环误差系统的结构可由下图概括：根据（7.5）干扰被过滤掉给出s，据定义（7.2），s通过进一步低通过滤又转过来产生跟踪误差$\tilde{x}$。控制作用u是$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{x}_d$的函数。

取$\dot{\Phi}+\lambda \Phi =k(\boldsymbol{x}_d)$
s-轨线，即s随时间的变化，它是闭环性态的一个简洁的描述符号：控制作用直接依赖于s，而根据定义（7.2）误差跟踪$\tilde{x}$仅是s经过滤后的形式。进而，s-轨线代表了模型不确定性假设的有效性的一个时变度量。类似地，边界层厚度$\Phi$描述的是动态模型不确定性随时间的演化。

7.3 建模性能之间的权衡

忽略阶数($\frac{1}{\lambda}$),$\Phi\approx \frac{k_d}{\lambda }$,则

$$\begin{align*} &\lambda^{n-1}(max\left | \tilde{x} \right |)\approx \Phi \\ \Rightarrow &\lambda^{n}(max\left | \tilde{x} \right |)\approx k_d\approx F_d\\ \Rightarrow &\tilde{x}\leqslant \frac{F_d}{\lambda^n} \end{align*}$$

其中$F_d$反映了“parametric”部分,$\lambda^n$反映了“fast unmodeled”部分

一个关键的问题是决定能取多大的$\lambda$

• 结构共振模态 λ必须比最低的未建模结构共振模态的频率$v_R$小，这种限制的一个合理的传统表达是

  $$\lambda \leqslant \lambda_R\approx \frac{2\pi}{3}v_R$$

• 忽略的时滞 ​沿同一直线，有如下的条件 ($T_A$是最大的未建模时滞(如在执行器内))

  $$\lambda\leqslant \lambda_A \approx \frac{1}{3T_A}$$

• 采样率 ​ 由于整个周期进展延迟，得到如下条件

  $$\lambda\leqslant \lambda_s \approx \frac{1}{5}v_{sampling}$$

• 测量

  $$\lambda\leqslant \lambda_M$$

故

$$\lambda=min\left \{ \lambda_s,\lambda_A,\lambda_s,\lambda_M\right \}$$

一个较好的设计

$$\lambda_s\approx\lambda_A\approx\lambda_s\approx\lambda_M$$

根据上式考虑motors,sensors,computers,materials…

参考

【1】Applied Nonlinear Control,Slotine and Li,Prentice-Hall 1991:Sections 7.2,7.3
【2】https://www.bilibili.com/video/BV1Tk4y167kR?p=7&vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0

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