eg. 对于系统

x¨+α1x˙3++α2x2=u\ddot{x}+\alpha_1\dot{x}^3++\alpha_2x^2=u

其中，α1,α2\alpha_1,\alpha_2为未知常数，可以确定α1>−2,∣α2∣<5\alpha_1> -2,\left | \alpha_2 \right |< 5,试确定控制输入uu使得系统在原点处全局渐进稳定。
可能的答案(应用上讲末例子的结论)

u=−5x∣x∣−2x˙3or  u=−10x∣x∣−3x˙3or  u=−15(x+x3)−5x˙3\begin{align*} &u=-5x\left | x \right |-2\dot{x}^3\\ or~~&u= -10x\left | x \right |-3\dot{x}^3\\ or~~&u=-15(x+x^3)-5\dot{x}^3\\ \end{align*}

2. 局部不变集定理

定理3.4 局部不变集定理

考查一个形如式(3.2)的自治系统，这里f\boldsymbol{f}是连续的。设V(x)V(\boldsymbol{x})为一个有连续一阶偏导数的标量函数，并且

  • 对任何l>0l>0，由V(x)<lV(\boldsymbol{x})<l 定义的Ωl\boldsymbol{\Omega}_l为一个有界区域
  • V˙(x)⩽0,x∈Ωl\dot{V}(\boldsymbol{x})\leqslant 0,\boldsymbol{x}\in \boldsymbol{\Omega}_l

设R\boldsymbol{R}为Ωl\boldsymbol{\Omega}_l内使V˙(x)=0\dot{V}(\boldsymbol{x}) = 0的所有点集合，M\boldsymbol{M}为R\boldsymbol{R}中的最大不变集，那么当t→∞t\to \infty时从出发的每一个解均趋于M\boldsymbol{M}。
在上述定理中，"最大"一词指在集合论意义下的最大，即M\boldsymbol{M}​是​R\boldsymbol{R}内所有不变集(包括平衡点、极限环)的并集。如果集合R本身是不变的（即一旦V˙=0\dot{V}=0，则此后V˙≡0\dot{V}\equiv 0），那么M=R\boldsymbol{M}=\boldsymbol{R}。同时也请注意，这里VV虽然还叫做李雅普诺夫函数，但不要求它正定。
eg. 考察系统

x˙1=x2−x17(x14+2x22−10)x˙2=−x13−3x25(x14+2x22−10)\begin{align*} &\dot{x}_1=x_2-x_1^7(x_1^4+2x_2^2-10)\\ &\dot{x}_2=-x_1^3-3x_2^5(x_1^4+2x_2^2-10)\\ \end{align*}

首先注意到由x14+2x22=10x_1^4+2x_2^2=10定义的集合为不变集，因为

ddt(x14+2x22−10)=−(4x110+12x26)(x14+2x22−10)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(x_1^4+2x_2^2-10)=-(4x_1^{10}+12x_2^6)(x_1^4+2x_2^2-10)

它在上述集合上为零。在这个不变集上的运动可以用下面两个方程中的任意一个来等价表示

{x1˙=x2x2˙=−x13or  x¨1+x13=0\begin{align*} &\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}&=&x_2 \\ \dot{x_2}&=&-x_1^3 \end{matrix}\right. \\ or~~&\ddot{x}_1+x_1^3=0 \end{align*}

由此可见，不变集实际上代表了一个极限环。状态向量沿极限环顺时针运动。下面考察极限环是否是稳定的，定义一个李雅普诺夫函数

V=(x14+2x22−10)2V=(x_1^4+2x_2^2-10)^2

它表示到极限环的距离。对任意正数ll集合Ωl\boldsymbol{\Omega}_l是包围极限环的有界集。由早先的计算可得到

V˙=−8(x110+3x26)(x14+2x22−10)2\dot{V}=-8(x_1^{10}+3x_2^6)(x_1^4+2x_2^2-10)^2

因此VV除在区域

x14+2x22=10   or   x110+3x26=0x_1^4+2x_2^2=10 ~~~or~~~x_1^{10}+3x_2^6=0

外严格负。而在上述区域V˙=0\dot{V}=0，第一个方程定义极限环，而第二个方程表示原点。因为极限环和原点均为不变集，M\boldsymbol{M}是它们的并集。因此由​Ωl\boldsymbol{\Omega}_l​出发的所有系统轨线均或者收敛于极限环或收敛于原点。
再者，可以证明原点是不稳定平衡点，但这个结果不能由线性化得到。因为线性化系统(x˙1=x2,x˙2=0\dot{x}_1=x_2,\dot{x}_2=0)只是临界稳定。
我们考查区域Ω100\boldsymbol{\Omega}_{100}，注意，原点0\boldsymbol{0}不属于Ω100\boldsymbol{\Omega}_{100}，而极限环包围的区域内的其他点均在Ω100\boldsymbol{\Omega}_{100}内(换言之，原点对应于VV的局部最大点)。现在，因为V˙\dot{V}的表达式仍如前，集 M\boldsymbol{M}只含极限环。因此，再使用不变集定理可以证明极限环内从除原点外任一点出发的一切轨线均收敛于极限环。这也说明原点是不稳定平衡点。
1

3.5 基于李雅普诺夫直接方法的系统分析

3.5.1 线性时不变系统的李雅普诺夫分析

1. 对称矩阵、反对称矩阵、正定矩阵

概念：一个方阵M\boldsymbol{M}称为对称(symmetric)的，如果M=MT\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}^T(换言之，如果对∀i, j, Mij=Mji\forall i,~j,~\boldsymbol{M}_{ij}=\boldsymbol{M}_{ji});方阵M\boldsymbol{M}称为反对称(skew-symmetric)的,如果M=−MT\boldsymbol{M}=-\boldsymbol{M}^T(即如果对∀i, j, Mij=−Mji\forall i,~j,~\boldsymbol{M}_{ij}=-\boldsymbol{M}_{ji})。

  • 任何一个n×n矩阵M\boldsymbol{M}都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，即它可以表示如下：

    M=M+MT2+M−MT2\boldsymbol{M}=\frac{\boldsymbol{M}+\boldsymbol{M}^T}{2}+\frac{\boldsymbol{M}-\boldsymbol{M}^T}{2}

    这里右边第一项是对称的，而第二项是反对称的

  • 反对称矩阵构成的二次函数为零。这也是矩阵M\boldsymbol{M}反对称的充要条件。

    严格地说，设M\boldsymbol{M}为一个n×nn\times n反对称矩阵，x\boldsymbol{x}为任一n×1n\times 1向量。根据反对称矩阵的定义有

    xTMx=−xTMTx\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}=-\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}^T\boldsymbol{x}

    由于xTMTx\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}^T\boldsymbol{x}是一个标量，上式右边可以用它的转置来代换，因此

    xTMx=xTMTx\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}^T\boldsymbol{x}

    这说明

    ∀x,xTMx=0\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}=0

    进一步

    xTMx=xT(Msym+Mske)x=xTMsymx\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{M_{sym}+M_{ske}})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M_{sym}}\boldsymbol{x}

概念：一个 n×nn\times n方阵称为正定的(positive definite)，如果

x≠0⇒xTMx>0(3.13)\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0} \Rightarrow \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} > 0 \tag{3.13}

换言之，一个矩阵M是正定的，如果二次函数xTMx\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}是正定函数。这个定义说明每个正定矩阵对应一个正定函数。反之，显然不成立。

  • 从几何上看，正定可以简单地解释为对任一向量x\boldsymbol{x}，它与它的像Mx\boldsymbol{Mx}间的夹角总是小于90°
    2

  • 设M\boldsymbol{M}为对称矩阵，M\boldsymbol{M}正定的充要条件是其主子式(即M11,M11M22−M21M12,⋅⋅⋅,detM\boldsymbol{M}_{11},\boldsymbol{M}_{11}\boldsymbol{M}_{22}-\boldsymbol{M}_{21}\boldsymbol{M}_{12,}\cdot\cdot \cdot ,det \boldsymbol{M})均为正数；或等价地，其特征值均为正数。特别是对称正定矩阵总是可逆的，因为上述条件表明它的行列式值不为零。(Sylvester定理)

  • 分别记λmin(M)\lambda _{min}(\boldsymbol{M})和λmax(M)\lambda _{max}(\boldsymbol{M})为M\boldsymbol{M}最小和最大特征值,则有

    λmin(M)xTx⩽xTMx⩽λmax(M)xTx\lambda _{min}(\boldsymbol{M})\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\leqslant \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} \leqslant \lambda _{max}(\boldsymbol{M})\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}

    即

    λmin(M)∥x∥2⩽xTMx⩽λmax(M)∥x∥2\lambda _{min}(\boldsymbol{M})\left \| \boldsymbol{x} \right \|^2 \leqslant \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{M}\boldsymbol{x} \leqslant \lambda _{max}(\boldsymbol{M})\left \| \boldsymbol{x} \right \|^2

2. 线性时不变系统的李雅普诺夫函数

给定一个线性系统x˙=Ax\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}，考虑一个二次李雅普诺夫函数

V=xTPxV=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}

其中，P\boldsymbol{P}是一个给定的对称正定矩阵，沿系统轨线对这个正定函数求微商可得到另一个二次形式

V˙=x˙TPx+xTPx˙=−xTQx(3.14)\dot{V}= \dot{\boldsymbol{x}}^T\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{P} \dot{\boldsymbol{x}}=-\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x} \tag{3.14}

这里

ATP+PA=−Q(3.15)\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{Q} \tag{3.15}

参考

【1】Applied Nonlinear Control,Slotine and Li,Prentice-Hall 1991:Sections 3.4.3 and 3.5
【2】https://www.bilibili.com/video/BV1Tk4y167kR?p=4&vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0