Lecture 5 Stability of Time-Varying Systems
2. 线性时不变系统的李雅普诺夫函数
承接上节
问题变成能否找到一个对称正定矩阵Q\boldsymbol{Q}Q使它满足李雅普诺夫方程(3.15)。如果存在这样的Q\boldsymbol{Q}Q，则VVV满足3.4节基本定理的条件，且故原点是全局渐近稳定的。但是这种“自然”的想法可能得不到想要的结果，即，甚至对稳定系统Q\boldsymbol{Q}Q也可能不正定。(Q\boldsymbol{Q}Q一定是对称的 (ATP+PA)T=ATP+PA(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}(ATP+PA)T=ATP+PA)
一个利用二次函数研究给定线性系统的有用方法是：给定一个正定矩阵Q\boldsymbol{Q}Q，而反过来找正定矩阵P\boldsymbol{P}P，即
选择一个正定矩阵 Q\boldsymbol{Q}Q
由李雅普诺夫方程(3.15)解出P\boldsymbol{P}P
...
Lecture 4 Convergence to Invariant Sets
eg. 对于系统
x¨+α1x˙3++α2x2=u\ddot{x}+\alpha_1\dot{x}^3++\alpha_2x^2=u
x¨+α1x˙3++α2x2=u
其中，α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1,α2为未知常数，可以确定α1>−2,∣α2∣<5\alpha_1> -2,\left | \alpha_2 \right |< 5α1>−2,∣α2∣<5,试确定控制输入uuu使得系统在原点处全局渐进稳定。
可能的答案(应用上讲末例子的结论)
u=−5x∣x∣−2x˙3or u=−10x∣x∣−3x˙3or u=−15(x+x3)−5x˙3\begin{align*}
&u=-5x\left | x \right |-2\dot{x}^3\\
or~~&u= -10x\left | x \right |-3\dot{x}^3\\
or~~&u=-15(x+x^3)-5\dot{x}^3\\
\end{align*}
or or u=−5x∣x∣−2x˙3u=−10x∣x∣−3x˙3u= ...
Lecture 3 Lyapunov Stability Analysis
2. 全局稳定性的李雅普诺夫定理
定理3.3 全局稳定性(Global Stability)
假定存在状态x\boldsymbol{x}x的标量函数VVV，它具有一阶连续偏导数并且
V(x)V(\boldsymbol{x})V(x)正定
V˙(x)\dot{V}(\boldsymbol{x})V˙(x)负定
V(x)→∞,当∥x∥→∞V(\boldsymbol{x}) \to \infty,\text{当}\left \| x \right \| \to \inftyV(x)→∞,当∥x∥→∞(径向无界条件)
那么原点作为平衡点是全局渐近稳定的。
e.g. 一阶系统
x˙+c(x)=0\dot{x}+c(x)=0
x˙+c(x)=0
其中，c(x)c(x)c(x)是任意一个与变量xxx同号的连续函数(c(0)=0)(c(0)=0)(c(0)=0)，即
xc(x)>0,x≠0xc(x)>0,x\neq 0
xc(x)>0,x=0
选取李雅普诺夫函数
V=x2V=x^{2}
V=x2
函数VVV是径向无界的，因为当∣x∣→∞\left | x \right | \t ...
Lecture 2 Basic Lyapunov Theory
3.3 线性化与局部稳定性(Linearization and Local Stability)
考虑自治系统并假定f(x)\boldsymbol{f}(x)f(x)连续可微分，那么系统动力学模型可写为
x˙=f(0)+(∂f∂x)x=0x+fh.o.t.(x)(3.8)\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0)}+\left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\right)_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}_{h.o.t.}(\boldsymbol{x}) \tag{3.8}
x˙=f(0)+(∂x∂f)x=0x+fh.o.t.(x)(3.8)
其中，fh.o.t.\boldsymbol{f}_{h.o.t.}fh.o.t.表示x\boldsymbol{x}x的高阶项。
引入常矩阵A为f对x在x=0处的雅可比矩阵(即以∂fi∂xj\frac{\par ...
Lecture 1 Introduction
1.1 非线性系统举例
水下车辆运动的一个简单模型可写为
v˙+∣v∣v=u(1.1)\dot{\boldsymbol {v} }+|\boldsymbol {v}|\boldsymbol {v} = \boldsymbol {u} \tag{1.1}
v˙+∣v∣v=u(1.1)
其中v\boldsymbol {v}v是车速，u\boldsymbol {u}u是控制输入，非线性∣v∣v|\boldsymbol {v}| \boldsymbol {v}∣v∣v对应平方阻力定律。
假设用单位阶跃函数作为推力u\boldsymbol {u}u，5秒钟后改为负单位阶跃函数。系统的响应见图。可以看出，系统对正阶跃函数的稳态响应比其后的负阶跃函数快得多。直观地说，它反映了如下事实：“等效阻尼”系数∣v∣|\boldsymbol {v}|∣v∣在高速时比低速时大。
现在假定我们重复同样的实验但用振幅为10的大阶跃函数。可预见，对正阶跃和负阶跃的稳态时间差会更显著。而且，稳态速度vsv_svs对于第一个阶跃的响应并不像在线性系统那样10倍于第一次实验中对第一个阶跃的响应。这可以直观地用下式描述
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