2. 线性时不变系统的李雅普诺夫函数

承接上节

问题变成能否找到一个对称正定矩阵$\boldsymbol{Q}$使它满足李雅普诺夫方程(3.15)。如果存在这样的$\boldsymbol{Q}$，则$V$满足3.4节基本定理的条件，且故原点是全局渐近稳定的。但是这种“自然”的想法可能得不到想要的结果，即，甚至对稳定系统$\boldsymbol{Q}$也可能不正定。($\boldsymbol{Q}$一定是对称的 $(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}$)

一个利用二次函数研究给定线性系统的有用方法是：给定一个正定矩阵$\boldsymbol{Q}$，而反过来找正定矩阵$\boldsymbol{P}$，即

• 选择一个正定矩阵 $\boldsymbol{Q}$
• 由李雅普诺夫方程(3.15)解出$\boldsymbol{P}$
• 检验$\boldsymbol{P}$是否正定

如果$\boldsymbol{P}$正定，那么$\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}$是线性系统的一个李雅普诺夫函数，从而保证了线性系统全局渐近稳定。与先给$\boldsymbol{P}$再找$\boldsymbol{Q}$不同，从$\boldsymbol{Q}$找$\boldsymbol{P}$的方法能保证给出线性系统是否稳定的结论。这是根据以下的定理。

定理3.6

一个线性时不变系统$\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$渐近稳定的充要条件是，任给正定对称矩阵$\boldsymbol{Q}$李雅普诺夫方程(3.15)有惟一矩阵解$\boldsymbol{P}$，而且$\boldsymbol{P}$是对称正定的。

$$\boldsymbol{P}=\int_{0}^{+\infty }e^{\boldsymbol{A}^Tt}\boldsymbol{Q}e^{\boldsymbol{A}t}\mathrm{d}t \tag{3.16}$$

上述定理说明：任何正定矩阵$\boldsymbol{Q}$都可以用来判定线性系统的稳定性。一个简便的选择是取$\boldsymbol{Q}$为单位阵。

4.2.2 线性时变系统的李雅普诺夫分析

考虑如下形式的线性时变系统

$$\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x} \tag{4.17}$$

由于如果线性时不变系统的系统矩阵的所有特征值都具有负实部，那么该系统是渐近稳定的，人们很自然地猜想：如果对$\forall t\geqslant 0,\boldsymbol{A}(t)$所有特征值都具有负实部，系统(4.17)是稳定的。如果确实如此，那么对线性时变系统的分析将是很容易的。然而，这一猜想不对。

e.g. 考虑系统

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & e^{2t}\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} \tag{4.18}$$

矩阵$\boldsymbol{A}(t)$的所有特征值在所有的时间内都为-1，然而，首先解出$x_2$，然后把$x_2$代入到关于$x_1$的方程中，原系统化为

$$x_2=x_2(0)e^{-t} ~~~~ \dot{x}_1+x_1=x_2(0)e^t$$

因为$x_1$可以视为一阶滤波器的输出，输入$x_2(0)e^t$趋于无穷，所以系统是不稳定的。

然而，一个简单的结果是：时变系统(4.17)是渐近稳定的，如果对称矩阵​$\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{A}^T(t)$​的所有特征值(都是实数)在复左半开平面内,即

$$\exists \lambda >0,\forall t\geqslant 0,\lambda _i(\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{A}^T(t)) \leqslant -\lambda \tag{4.19}$$

用李雅普诺夫函数$V=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$很容易说明这点，因为

$$\dot{V}=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{\dot{x}}+\boldsymbol{\dot{x}}^T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T(\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{A}^T(t))\boldsymbol{x} \leqslant -\lambda \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x} = -\lambda V$$

因此

$$\forall t\geqslant 0,0\leqslant \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}=V(t) \leqslant V(0)e^{-\lambda t}$$

因此$\boldsymbol{x}$指数趋近于零。

注意：这个结果提供了判别渐近稳定性的一个充分条件(对某些渐近稳定系统(4.19)式是不成立的)

4.5 用Barbalat引理作类李雅普诺夫分析

对自治系统而言，不变集定理是研究稳定性强而有力的工具，因为当$V$仅仅是半负定时，利用这个定理可以推出渐近稳定的结果。然而，不变集定理不能应用于非自治系统。因此，非自治系统的渐近稳定分析通常比自治系统的渐近稳定分析难得多，因为寻找具有负定导数的李雅普诺夫函数通常是很困难的。
一个重要而简单且能部分弥补这种情况的结果就是Barbalat引理。Barbalat引理是一个关于函数及其导数的渐近性质的纯粹的数学结果。当把这个引理适当地应用于动力系统，可以导致关于渐近稳定性问题的许多令人满意的解答。

4.5.1 函数及导数的渐进性质

• $\dot{f} \rightarrow 0\underset{ \times }{\Rightarrow} f \text{收敛}$
  $\dot{f}(t) \rightarrow 0$并不能推出当$t \rightarrow \infty$时$f(t)$存在极限。
  几何上，导数趋于零意味着倾斜线越来越平。然而，这并不意味着这个函数存在极限。
  例如：考虑函数$f(t)=sin(ln(t))$,而$\dot{f}(t)=\frac{cos(log(t))}{t} \rightarrow 0,t \rightarrow \infty$,但是函数$f(t)$一直是振荡的(速度越来越慢)。
• $f \text{收敛 } \underset{ \times }{\Rightarrow} \dot{f} \rightarrow 0$
  当$t \rightarrow \infty$时，$f(t)$存在有限极限并不意味着$\dot{f}(t) \rightarrow 0$。例如：函数$f(t)=e^{-t}sin(e^{2t})$趋近于零，而$\dot{f}=\cdot \cdot \cdot +e^t(\cdot \cdot \cdot )$是无界的。
• 如果$f$有下界且是递减的($\dot{f}\leqslant 0$)，那么$f$存在极限

4.5.2 Barbalat引理

引理4.2 Barbalat

如果可微函数$f(t)$，当$t \rightarrow \infty$时存在有限极限，且$\ddot{f}$有界($\exists \alpha >0,\forall t \geqslant 0,\left | \ddot{g}(t) \right | \leqslant \alpha$)，那么当$t \rightarrow \infty$时$\dot{f}(t) \rightarrow 0$。

引理4.3 类李雅普诺夫引理

对于系统$\boldsymbol{\dot{x}}=f(\boldsymbol{x},t)$,如果标量函数满足下面的条件

• $V(\boldsymbol{x},t)$有下界
• $\dot{V}(\boldsymbol{x},t)$半负定
• $\frac{\mathrm{d^2} V}{\mathrm{d} x^2}$有界

那么$\dot{V}(\boldsymbol{x},t) \rightarrow 0,t \rightarrow \infty$。

参考

【1】Applied Nonlinear Control,Slotine and Li,Prentice-Hall 1991:Sections 4.2 and 4.5
【2】https://www.bilibili.com/video/BV1Tk4y167kR?p=5&vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0