Lecture 1 方程组几何解释

要点

• n个已知数，n个未知数的方程组求解
• 行图像(Row picture)
• 列图像(Column picture)
• 矩阵形式(Matrix form)

例子：

2阶方程组

$$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{matrix}\right.$$

矩阵形式

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3\\ \end{bmatrix}$$

即

$$AX=b$$

行图像

列图像

$$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$$

Linear Combination of Columns

3阶方程组

$$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4 \end{matrix}\right.$$

矩阵形式

$$A=\begin{bmatrix} 2 & -1&0 \\ -1 & 2&-1 \\ 0 & -3&4 \end{bmatrix} ~~~~b=\begin{bmatrix} 0\\-1\\4\end{bmatrix}$$

行图像

列图像

$$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Solution:$x=0 ,y=0,z=1$

若 $b=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ solution:$x=1 ,y=1,z=0$

Question:Can I solve $AX=b$ for every b?

$\Leftrightarrow$Do the linear combination of columns fill three dimensional space?

参考

【1】https://www.bilibili.com/video/BV1ix411f7Yp/?vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0

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