3.3 线性化与局部稳定性(Linearization and Local Stability)

考虑自治系统并假定f(x)\boldsymbol{f}(x)连续可微分，那么系统动力学模型可写为

x˙=f(0)+(∂f∂x)x=0x+fh.o.t.(x)(3.8)\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0)}+\left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\right)_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}_{h.o.t.}(\boldsymbol{x}) \tag{3.8}

其中，fh.o.t.\boldsymbol{f}_{h.o.t.}表示x\boldsymbol{x}的高阶项。
引入常矩阵A为f对x在x=0处的雅可比矩阵(即以∂fi∂xj\frac{\partial{\boldsymbol{f_i}}}{\partial{\boldsymbol{x_j}}}为元素的n×n矩阵)

A=(∂fi∂xj)x=0=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn]x=0\boldsymbol{A} = \left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f_i}}}{\partial{\boldsymbol{x_j}}}\right)_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}=\begin{equation*} \begin{bmatrix} \frac{\partial{\boldsymbol{f_1}}}{\partial{\boldsymbol{x_1}}} &\cdots& \frac{\partial{\boldsymbol{f_1}}}{\partial{\boldsymbol{x_n}}} \\ \vdots& \ddots&\vdots \\ \frac{\partial{\boldsymbol{f_n}}}{\partial{\boldsymbol{x_1}}}&\cdots&\frac{\partial{\boldsymbol{f_n}}}{\partial{\boldsymbol{x_n}}} \end{bmatrix} \end{equation*} _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}

由于0\boldsymbol{0}是一个平衡点，故f(0)=0\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}。略去高阶项，整理得

x˙=Ax(3.9)\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \tag{3.9}

称为原来的非线性系统在平衡点0的线性化(或线性逼近)。
类似地，对一个带有控制输入u的非自治非线性系统

x˙=f(x,u)\boldsymbol{\dot{x}} = \boldsymbol{f} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})

且f(0,0)=0\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})= \boldsymbol{0},我们有

x˙=(∂f∂x)(x=0,u=0)x+(∂f∂u)(x=0,u=0)u+fh.o.t.(x,u)\boldsymbol{\dot{x}} = \left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\right)_{(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0})}\boldsymbol{x} + \left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{u}}}\right)_{(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0})}\boldsymbol{u} +\boldsymbol{f}_{h.o.t.}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u})

其中，fh.o.t.\boldsymbol{f}_{h.o.t.}表示关于x及u的高阶项，记A为f在(x=0，u=0)处对x的雅可比矩阵，B为f对u在同一点的雅可比矩阵（即以∂fi∂uj\frac{\partial{\boldsymbol{f_i}}}{\partial{\boldsymbol{u_j}}}为元素的n×n矩阵，这里m为输入个数）

A=(∂f∂x)(x=0,u=0)B=(∂f∂u)(x=0,u=0)\boldsymbol{A}= \left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}}\right)_{(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0})} \boldsymbol{B}= \left ( \frac{\partial{\boldsymbol{f}}} {\partial{\boldsymbol{u}}}\right)_{(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0})}

系统

x˙=Ax+Bu\boldsymbol{\dot{x}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}

是原非线性系统在(x=0，u=0)处的线性化(或线性逼近)。
而且，选择一个控制律u=u(x)(u(0)=0)就会将原来的非自治系统变为以x=0为其一个平衡点的自治闭环系统。控制律的线性逼近为

u≈(dudx)x=0x=Gx\boldsymbol{u} \approx \left(\frac{d\boldsymbol{u}}{d\boldsymbol{x}}\right)_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}} \boldsymbol{x} =\boldsymbol{G}\boldsymbol{x}

闭环动力系统被线性化为

x˙=f(x,u(x))≈(A+BG)x\boldsymbol{\dot{x}} =\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x} ) ) \approx (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{G})\boldsymbol{x}

e.g. 考察系统

x1˙=x22+x1cosx2x2˙=x2+(x1+1)x1+x1sinx2\begin{align*} &\dot{x_1}=x_2^2+x_1cosx_2\\ &\dot{x_2}=x_2+(x_1+1)x_1+x_1sinx_2\\ \end{align*}

x=0\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}是平衡点，系统关于x=0\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}的线性逼近为

x1˙≈0+x1⋅1=x1x2˙≈x2+0+x1+x1x2≈x2+x1\begin{align*} &\dot{x_1}\approx 0+x_1 \cdot1=x_1 \\ &\dot{x_2}\approx x_2+0+x_1+x_1x_2\approx x_2+x_1\\ \end{align*}

它的线性化系统可写为

x˙=[1011]x  A=[1011]\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*} \boldsymbol{x} ~~ \boldsymbol{A}= \begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation*}

定理 3.1 李雅普诺夫线性化方法(Lyapunov’s Linearization Method)

  • 如果线性化系统是严格稳定的(即A的特征值在复平面的左半开平面内)，那么非线性系统的平衡点是渐近稳定的。
  • 如果线性化系统是不稳定的(即至少有一个A的特征值在右半开平面内)，那么非线性系统的平衡点是不稳定的。
  • 如果线性系统是临界稳定的(即A的所有特征值均在左半闭平面，且至少有一个在虚轴上)那么由线性化系统得不到原系统的任何信息(即非线性系统的平衡点可能是稳定的、渐近稳定的或不稳定的)。

e.g. 第三点

{v˙+∣v∣v=0v˙≈0线性化临界稳定原系统渐近稳定v˙−∣v∣v=0v˙≈0线性化临界稳定原系统不稳定\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\dot{\boldsymbol {v} }+|\boldsymbol {v}|\boldsymbol {v} = \boldsymbol {0} \quad \dot{\boldsymbol {v}} \approx \boldsymbol {0} \quad \text{线性化临界稳定} \quad \text{原系统渐近稳定}\\ &\dot{\boldsymbol {v} }-|\boldsymbol {v}|\boldsymbol {v} = \boldsymbol {0} \quad \dot{\boldsymbol {v}} \approx \boldsymbol {0} \quad \text{线性化临界稳定} \quad \text{原系统不稳定}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}

3.4 李雅普诺夫直接方法(Lyapunov’s Direct Method)

李雅普诺夫直接方法的基本原理是一个基本物理现象的数学表达：如果一个力学(或电)系统的全部能量连续耗散，那么系统(不管是线性的还是非线性的)都将最终停止在一个平衡点处。这样，我们可以由一个标量函数的变化来判断一个系统的稳定性。

e.g. 质量-阻尼-弹簧系统

1

动力学方程

mx¨+bx˙∣x˙∣+k0x+k1x3=0(3.10)m\ddot{x}+b\dot{x}|\dot{x}|+k_0x+k_1x^3=0 \tag{3.10}

这里bx˙∣x˙∣b\dot{x}|\dot{x}|表示非线性耗散式阻尼，而(k0x+k1x3)(k_0x+k_1x^3)代表非线性弹簧。

考察系统能量(即动能和势能之和)

V(x)=12mx˙2+∫0x(k0x+k1x3)dx=12mx˙2+12k0x2+14k1x4(3.11)V(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\int_{0}^{x} (k_0x+k_1x^3)dx=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}k_0x^2+\frac{1}{4}k_1x^4 \tag{3.11}

比较稳定性定义与机械能，不难看到机械能和前面定义的稳定性概念之间的联系

  • 能量为0对应于平衡点(x=0,x˙=0\boldsymbol{x}= \boldsymbol{0},\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{0})
  • 渐近稳定意味着机械能收敛到零
  • 不稳定对应于机械能的增长。

考察系统能量的变化率

V˙(x)=mx˙x¨+(k0x+k1x3)x˙=x˙(−bx˙∣x˙∣)=−b∣x˙∣3(3.12)\dot{V}(\boldsymbol{x}) = m\dot{x}\ddot{x}+(k_0x+k_1x^3)\dot{x}=\dot{x}(-b\dot{x}|\dot{x}|)=-b|\dot{x}|^3 \tag{3.12}

方程(3.12)表明由于阻尼的存在，系统的能量不断减少，一直到质点停止运动，即.x˙=0\dot{x}=0。物理上看，显然质点将最后停在弹簧原始长度的位置上，因为除非在这个位置它总要受到非零的弹簧力。

李雅普诺夫直接方法的原理是将上述质量一弹簧一阻尼系统中的概念推广到更一般的系统。面对一组非线性微分方程，李雅普诺夫直接方法的基本步骤是对系统构造一个类似能量的标量函数，然后检验它对时间的变化率。这样就可以不直接使用稳定性定义或不必得到解的准确知识而得到关于一组微分方程的稳定性的结论。

3.4.1 正定函数与李雅普诺夫函数

式(3.11)中的能量函数有两个性质

  • 第一个性质是关于函数本身的，它除了xx 及x˙\dot{x}均为零的点外严格正；
  • 第二个性质是与动力学方程(3.10)有关的：当xx及x˙\dot{x}依(3.10)变化时该函数单调下降。

在李雅普诺夫直接方法中第一个性质被概括为正定函数，第二个性质由所谓的李雅普诺夫函数来表达。

1.正定函数

概念：一个标量连续函数V(x)V(\boldsymbol{x})称为局部正定的，如果V(0)=0V(\boldsymbol{0})=0，且在一个球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}内

x≠0⇒V(x)>0\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} \Rightarrow V( \boldsymbol{x}) > 0

如果V(0)=0V(\boldsymbol{0})=0且上述性质在整个状态空间成立，则称V(x)V(\boldsymbol{x})为全局正定函数。

2.李雅普诺夫函数

V˙=dV(x)dt=∂V∂xx˙=∂V∂xf(x)\dot{\boldsymbol{V}}=\frac{\mathrm{d}V(\boldsymbol{x}) }{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial \boldsymbol{x}} \dot{\boldsymbol{x}}= \frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial \boldsymbol{x}} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})

概念: 如果在一个球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}，内，函数V(x)V(\boldsymbol{x})是正定的，且有连续偏导数，而且它沿系统的任一状态轨线的导数为负半定的，即

V˙(x)⩽0\dot{\boldsymbol{V}}(\boldsymbol{x})\leqslant 0

那么V(x)V(\boldsymbol{x})称为系统的李雅普诺夫函数

3.4.2 平衡点定理

1. 局部稳定性的李雅普诺夫定理

定理 3.2 局部稳定性(Local Stability)

如果在一个球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}内，存在一个标量函数V(x)，它具有一阶连续偏导数，并且

  • V(x)V(\boldsymbol{x})正定(在球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}内)
  • V˙(x)\dot{V}(\boldsymbol{x})负半定(在球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}内)
    那么平衡点0是稳定的，如果导数V˙(x)\dot{V}(\boldsymbol{x})在球BR0\boldsymbol{B}_{R_0}内是负定的，那么0是渐近稳定的。

参考

【1】Applied Nonlinear Control,Slotine and Li,Prentice-Hall 1991:Sections 3.3,3.4.1,3.4.2
【2】https://www.bilibili.com/video/BV1Tk4y167kR/?vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0