1.1 非线性系统举例

水下车辆运动的一个简单模型可写为

$$\dot{\boldsymbol {v} }+|\boldsymbol {v}|\boldsymbol {v} = \boldsymbol {u} \tag{1.1}$$

其中$\boldsymbol {v}$是车速，$\boldsymbol {u}$是控制输入，非线性$|\boldsymbol {v}| \boldsymbol {v}$对应平方阻力定律。

假设用单位阶跃函数作为推力$\boldsymbol {u}$，5秒钟后改为负单位阶跃函数。系统的响应见图。可以看出，系统对正阶跃函数的稳态响应比其后的负阶跃函数快得多。直观地说，它反映了如下事实：“等效阻尼”系数$|\boldsymbol {v}|$在高速时比低速时大。

现在假定我们重复同样的实验但用振幅为10的大阶跃函数。可预见，对正阶跃和负阶跃的稳态时间差会更显著。而且，稳态速度$v_s$对于第一个阶跃的响应并不像在线性系统那样10倍于第一次实验中对第一个阶跃的响应。这可以直观地用下式描述

$$\begin{align*} &u =1 \Rightarrow 0+|v_s|v_s=1 \Rightarrow v_s=1\\ &u =10 \Rightarrow 0+|v_s|v_s=1 0\Rightarrow v_s=\sqrt{10} \approx3.2 \end{align*}$$

3.李雅普诺夫理论基础(Lyapunov theory)

3.1 非线性系统与平衡点

1. 非线性系统

一个非线性动力系统通常可以用以下的非线性微分方程描述

$$\dot{\boldsymbol {x} }= \boldsymbol {f} ( \boldsymbol {x},t) \tag{3.1}$$

其中,$\boldsymbol {f}$是一个n×1的非线性向量函数，而$\boldsymbol {x}$是一个n×1的状态向量。

需要强调的是，虽然式(3.1)并不明显的包含控制变量，它还是可以直接用于反馈控制系统。因为该式可以代表一个反馈控制系统的闭环动态，这里控制输入是状态与时间的一个函数，所以被吸收到闭环系统的动态方程中去了。具体地说，如果系统的动态方程为

$$\dot{\boldsymbol {x} }= \boldsymbol {f} ( \boldsymbol {x}, \boldsymbol {u},t)$$

而设计的控制规律为

$$\boldsymbol {u} = \boldsymbol {g} ( \boldsymbol {x},t)$$

那么，闭环系统的动态方程为

$$\dot{\boldsymbol {x} }= \boldsymbol {f} ( \boldsymbol {x}, \boldsymbol {g} ( \boldsymbol {x},t),t)$$

它可以被改写成式(3.1)的形式

2. 自治系统与非自治系统

根据系统矩阵A是否随时间变化，线性系统可分为时变(time-variant)与时不变(time-invariant)系统。在一般的非线性系统研究中，这两个概念通常被称作"自治"(autonomous)与"非自治"(non-autonomous)。
概念：非线性系统(3.1)称为自治的，如果$\boldsymbol {f}$不显含t，即如果系统方程可写作

$$\dot{\boldsymbol {x} }= \boldsymbol {f} ( \boldsymbol {x}) \tag{3.2}$$

否则，该系统称为非自治的。

自治系统和非自治系统的基本区别在于：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非自治系统一般不是这样。在本章的余下部分我们将重点分析由式(3.2)代表的自治系统。

3. 平衡点(equilibrium)

概念:状态$\boldsymbol {x^*}$称为系统的一个平衡态(或平衡点)如果一旦$\boldsymbol {x}(t)= \boldsymbol {x^*}$，则此后状态永远停留在$\boldsymbol {x^*}$。
数学上，这表明定常向量$\boldsymbol {x^*}$满足

$$\boldsymbol {0}= \boldsymbol{f} ( \boldsymbol {x^*}) \tag{3.3}$$

平衡点可通过解代数方程(3.3)求得。

e.g.: 摆

考查图所示的摆，它的性态可用以下的非线性自治方程来描述

$$MR^2 \ddot\theta+b\dot \theta+MgRsin\theta=0 \tag{3.5}$$

这里R是摆长、M是质量、b是铰链的摩擦系数、g是重力加速度（常数），记$x_1=\theta$,$x_2=\dot \theta$。则相应的状态方程为

$$\begin{align*} &\dot x_1 =x_2 \tag{3.6a}\\ &\dot x_2=-\frac{b}{MR^2}x_2-\frac{g}{R}sinx_1 \tag{3.6b} \end{align*}$$

于是，平衡点满足

$$x_2=0,sinx_1=0$$

因此，平衡点为（0[$2\pi$]，0）及（$\pi [2\pi]$，0），从物理意义上讲，它们分别对应摆的垂直向上及垂直向下的位置。

从上题可以看出：一个非线性系统可以有几个(甚至无穷多个)孤立的平衡点

3.2 稳定的概念

1. 稳定性与不稳定性

概念：一个平衡点$x=0$称为稳定的，如果任给$R>0$，总存在$r>0$，使当$||x(0)||<r$时，$||x(t)|| <R$,$t>0$。如果$x=0$不是稳定的，则称为不稳定平衡点。稳定平衡点也可以记为

$$\forall R>0,\exists r>0,||\boldsymbol{x}(0)|| <r \Rightarrow \forall t \geq 0,||\boldsymbol{x}(t)|| <R$$

• 本质上，稳定（也称李雅普诺夫意义下的稳定或李雅普诺夫稳定）表示只要系统初始状态与原点足够接近，则系统轨线也可以任意接近原点。更严格地说，定义说"原点是稳定的"表示，如果我们想让轨线$\boldsymbol{x}(t)$保持在任意指定半径的$\boldsymbol{B}_R$球内，可以找到一个值$r(R)$，使得当初始状态从球$\boldsymbol{B}_R$内出发时，整个轨线都会留在$\boldsymbol{B}_R$球内。(记$\boldsymbol{B}_R$为状态空间的球形区域$||\boldsymbol{x}||< R$，$S_R$为球面$||\boldsymbol{x}||=R$)

• 反之，一个平衡点称为不稳定的，如果至少有一个球$\boldsymbol{B}_R$，使得对每一个$r>0$，不管$r$多么小，总有一条轨线，它从球$\boldsymbol{B}_R$内某一点出发，最终要离开球$\boldsymbol{B}_R$。

• 必须指出“不稳定”和“逃逸”有本质的不同(“逃逸”指轨线从零点附近不断走远，直到无穷远)。对于线性系统，它们是等价的，因为不稳定极点会使系统状态指数增长。但对非线性系统，逃逸只是不稳定的一种。

2. 渐近稳定(asymptonic stability)

概念： ​平衡点0称为渐近稳定的，如果它是稳定的，而且存在$r>0$ 使当 $||\boldsymbol {x}(0)||<r$ 时，$\boldsymbol{x}(t) \rightarrow \boldsymbol{0}$，$t \rightarrow \infty$。

$$\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\exists r>0 \quad ||\boldsymbol{x}(0)||<r \\ &stable \quad equilibium\\ \end{aligned} \right . \end{equation*} \Rightarrow \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\boldsymbol{x}(t) \rightarrow0 \\ &as ~~ t \rightarrow \infty \\ \end{aligned} \right . \end{equation*}$$

• 渐近稳定意味着平衡点0不仅是稳定的，而且从邻近0的点出发的轨线当时间$t$趋于无穷时将收敛于0。
• 一个李雅普诺夫稳定而又不是渐近稳定的平衡点称为临界平衡点。

3. 全局稳定(global asymptonic stability)

概念： 如果对任何初值渐近（或指数）稳定成立，则这样的平衡点称为大范围渐近（或指数）稳定，也称全局渐近（指数）稳定。

4. 指数稳定(exponential stability)

概念： 平衡点0称为指数稳定的，如果存在两个正数$\alpha$和$\lambda$使得

$$\forall t>0,||\boldsymbol{x}(t)|| \leq \alpha ~||\boldsymbol {x}(0)||~e^{-\lambda t} \tag{3.7}$$

在原点附近的某个球$\boldsymbol{B}_R$内成立。

• 概而言之，式(3.7)表示指数稳定系统的状态向量收敛于原点的速度比某个指数函数快。正数$\lambda$称为指数收敛率。
• 注意，指数稳定蕴涵渐近稳定，但渐近稳定却不保证指数稳定。

参考

【1】Applied Nonlinear Control,Slotine and Li,Prentice-Hall 1991:Example 1.1,Sections 3.1,3.2
【2】https://www.bilibili.com/video/BV1Tk4y167kR/?vd_source=b1a52fdb6c7481b4e8c78d03e9a9acb0