2. 全局稳定性的李雅普诺夫定理

定理3.3 全局稳定性(Global Stability)

假定存在状态 $\boldsymbol{x}$ 的标量函数 $V$ ，它具有一阶连续偏导数并且

$V(\boldsymbol{x})$ 正定
$\dot{V}(\boldsymbol{x})$ 负定
$V(\boldsymbol{x}) \to \infty,\text{当}\left \| x \right \| \to \infty$ (径向无界条件)

那么原点作为平衡点是全局渐近稳定的。

e.g. 一阶系统

\dot{x}+c(x)=0

其中， $c(x)$ 是任意一个与变量 $x$ 同号的连续函数 $(c(0)=0)$ ，即

xc(x)>0,x\neq 0

选取李雅普诺夫函数

V=x^{2}

函数 $V$ 是径向无界的，因为当 $\left | x \right | \to \infty$ 时它趋于无穷。其导数为

\dot{V}=2x\dot{x}=-2xc(x)

因此，当 $x\neq 0$ 时， $\dot{V} <0$ ，所以 $x=0$ 是全局渐近稳定的平衡点。

ps：李雅普诺夫函数不唯一(Lyapunov’s function is not unique)

3.4.3 不变集理论(Invariant Set Theorems by Lasalle)

控制系统的渐近稳定性是一个非常重要的性质，但是之前的平衡点定理常常难以保证这一性质。因为候选李雅普诺夫函数的导数常常只是负半定的。幸运的是，对于这种情况，我们还是有可能得到渐近稳定的结论，这就要借助于拉塞尔提出的强有力的不变集定理。

概念：一个集合G称为一个动态系统的不变集。如果从G中一个点出发的轨线永远留在G中。
例如任一平衡点是一个不变集，一个平衡点的吸引域也是一个不变集。一个平凡不变集是整个状态空间。

1. 全局不变集定理

定理3.5 全局不变集定理

考察自治系统(3.2)，这里 $\boldsymbol{f}$ 连续，设 $V(\boldsymbol{x})$ 为带有连续一阶偏导数的标量函数，并且

$V(\boldsymbol{x})\to \infty$ (当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时)
$\dot{V}(\boldsymbol{x})\leqslant 0$ 对所有 $\boldsymbol{x}$ 成立

记 $\boldsymbol{R}$ 为所有使 $\dot{V}(\boldsymbol{x})=0$ 的点的集合， $\boldsymbol{M}$ 为 $\boldsymbol{R}$ 中最大不变集，那么，当 $t\to \infty$ 时所有解全局渐近收敛于 $\boldsymbol{M}$ 。

e.g. 二阶非线性系统

\ddot{x}+b(\dot{x})+c(x)=0

其中， $b(x)$ 和 $c(x)$ 为连续函数，满足以下符号条件

\begin{align*} \dot{x}b(\dot{x})>0,\dot{x}\neq 0\\ xc(x)>0,x \neq 0\\ \end{align*}

结论：原点是全局渐进稳定平衡点

带有非线性阻尼器与弹簧的质量一阻尼一弹簧系统的动态方程属于此类。而上述符号条件说明一般的b和c函数实际上代表了"阻尼"和"弹簧"效应。一个非线性R-L-C（电阻-电感-电容）电路也可以用上述方程描述。注意，如果b和c实际上是线性的( $b(\dot{x})=a_1\dot{x},c(x)=a_0x$ )，则上述符号条件成为系统稳定的充要条件(因为它们等价于条件 $a_1 > 0,a_0 > 0$ )