回顾上节

对于系统

x^{(n)}=f(\boldsymbol{x},t)+b(\boldsymbol{x},t)u

函数 $f$ (通常是非线性的)不是精确已知，但 $f$ 不精确性范围的上界是一个已知连续函数。( $\left | \hat{f}(\boldsymbol{x},t)-f(\boldsymbol{x},t) \right |\leqslant F(\boldsymbol{x},t)$ ,其中 $\hat{f}(\boldsymbol{x},t)$ ， $F(\boldsymbol{x},t)$ 已知)
跟踪误差 $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_d$
选取中间变量 $s$ ,要求
$\begin{cases}\dot{s}\text{包含}u\\ s \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{x}(t)\rightarrow 0\\ \end{cases}$
$u=\hat{u}-k~sgn(s)$ ， $k=F+\eta$ replace by $u=\hat{u}-(k-\dot{\Phi})~sat(\frac{s}{\Phi})$  boundary layer interpolation

8. 自适应控制

Adaptive Control:how to exploit the fact that part of the uncertainty of f(x,t) can be described simply as unknown constants ?
Basically can we make the system work as if the unknown constants we’ve known?

e.g. 摆(pendulum)

动力学方程

J\ddot{x}+b\dot{x}\left | \dot{x} \right |+mglsinx=u

其中令 $a_1=J,a_2=b,a_3= mgl$ 。则 $a_1,a_2,a_3$ 均为未知数

选择中间变量 $s=\dot{\tilde{x}}+\lambda \tilde{x}=\dot{x}-\dot{x}_r$ ，其中 $\dot{x}_r= \dot{x}_d-\lambda \tilde{x},\ddot{x}_r= \ddot{x}_d-\lambda \dot{\tilde{x}}$

选取李雅普诺夫函数

V=\frac{1}{2}Js^2 \tag{8.1}

计算其微分 $\dot{V}=J\dot{s}\cdot s$

下面计算 $J\dot{s}$

\begin{align*} J\dot{s}&=J(\ddot{x}-\ddot{x}_r)\\ &=u-J\ddot{x}_r-b\dot{x}\left | \dot{x} \right |-mglsinx\\ &=u-\boldsymbol{y}\boldsymbol{a} \end{align*}

其中 $\boldsymbol{y}=[\ddot{x}_r ~~\dot{x}\left |\dot{x} \right |~~sinx ]$ 为已知向量， $\boldsymbol{a}=[J~~b~~mgl]^T$ 未知向量
故

\dot{V}=J\dot{s}\cdot s=s(u-\boldsymbol{y}\boldsymbol{a}) \tag{8.2}

假设存在一时刻向量 $\boldsymbol{a}$ 已知，取 $u=\boldsymbol{y}\boldsymbol{a}-ks$ ，则
$\dot{V}=-ks^2$
其中k是正常数

根据Barbalat引理
$\dot{V} \rightarrow 0 \Rightarrow s \rightarrow 0 \Rightarrow \tilde{x} \rightarrow0,\dot{ \tilde{x}} \rightarrow 0$
下面考虑向量 $\boldsymbol{a}$ 未知

选择控制律(control law)
$u=\boldsymbol{y}\hat{\boldsymbol{a}}-ks \tag{8.3}$
其中 $\tilde{a}=\hat{a}-a$ ,此时 $\dot{V}=-ks^2+s\boldsymbol{y}\tilde{\boldsymbol{a}}$

为了将后项 $s\boldsymbol{y}\tilde{\boldsymbol{a}}$ 去掉，保证 $\dot{V}$ 半负定，在李雅普诺夫函数中加项
$V=\frac{1}{2}Js^2+\frac{1}{2}\boldsymbol{\tilde{a}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}} \tag{8.4}$
其中 $\boldsymbol{P}$ 是恒定对称正定矩阵
$\begin{align*} &\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\frac{1}{2}\boldsymbol{\tilde{a}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}})\\ =&\frac{1}{2}\boldsymbol{\dot{\tilde{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\tilde{a}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\dot{\tilde{a}}}\\ =&\boldsymbol{\dot{\tilde{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}}=\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}}\\ \Rightarrow \dot{V}=&-ks^2+\underbrace{s\boldsymbol{y}\tilde{\boldsymbol{a}}+\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}}}_{=0} \end{align*}$
所以
$s\boldsymbol{y}\tilde{\boldsymbol{a}}+\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\tilde{a}} = (s\boldsymbol{y}+\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}^T\boldsymbol{P}^{-1})\boldsymbol{\tilde{a}}=0$
故adaptation law
$\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}= -\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}^Ts \tag{8.5}$
所以可将control law进一步写成
$u=-ks-\boldsymbol{y}\int \boldsymbol{P}\boldsymbol{y}^Ts ~dt$

小结

\begin{align*} control ~~law:u=\boldsymbol{y}\hat{\boldsymbol{a}}-ks\\ adatation~~law:\boldsymbol{\dot{\hat{a}}}= -\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}^Ts\\ \end{align*}

延深

$\hat{\boldsymbol{a}}$ 是否收敛到 $a$ ?

Adaptation is on a need-to-know basis(sufficient richness)

我们知道 $s \rightarrow0$ ,可以验证 $\dot{s} \rightarrow0$ ( $\ddot{s} ~bounded$ )

\begin{cases}J\dot{s}=u-\boldsymbol{y}\boldsymbol{a} \\ u=\boldsymbol{y}\boldsymbol{\hat{a}}-ks\\ \end{cases} \Rightarrow J\dot{s}+ks=\boldsymbol{y}\boldsymbol{\tilde{a}}

故 $\boldsymbol{y}\boldsymbol{\tilde{a}} \rightarrow 0$ 且 $\boldsymbol{y}_d\boldsymbol{\tilde{a}} \rightarrow 0$

\left \| \boldsymbol{y}_d\boldsymbol{\tilde{a}} \right \|^2=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{\tilde{a}} ^T \boldsymbol{y}_d^T \boldsymbol{y}_d \boldsymbol{\tilde{a}}=0

其中 $\boldsymbol{y}_d^T \boldsymbol{y}_d$ 正半定矩阵(rank = 1)，不是正定矩阵。故方程解不唯一， $\boldsymbol{\tilde{a}}$ 不一定为0，即 $\hat{\boldsymbol{a}}$ 不一定收敛到 $a$ 。
但 $\hat{\boldsymbol{a}} \rightarrow \boldsymbol{a}$ 当